Бесплатные лотереи

 

 

    Игры на Webmoney  

Меню

На главную

Правила

MD5

Игры

Столб 777

Сапёр

Сапёр PRO

Под/Над 7

Камикадзе

Сейф

Очко 21

Starwars

Swamp land

Покер

Лото

Камень, ножницы, бумага

Больше, меньше

Корона и якорь

Реверси

Бесплатные Flash игры

Бесплатные лотереи

Статьи

Статьи

 


Что такое вероятность.

 
Как возникла теория вероятностей

Корни теории вероятностей уходят далеко в глубь веков. Известно, что в древнейших государствах Китае, Индии, Египте, Греции уже использовались некоторые элементы вероятностных рассуждений для переписи населения, и даже определения численности войска неприятеля.

Но все-таки начало теории вероятностей как науки приписывают середине XVII века. Из исторических романов мы помним: это время королей и мушкетеров, прекрасных дам и благородных кавалеров. Как это ни парадоксально, с именем одного из них, причем реального исторического лица, связано начало теории вероятностей.

Следует сразу оговориться, что основоположником теории вероятностей считают великого ученого, математика, физика и философа Блеза Паскаля (1623-1662). Но полагают, что впервые он занялся теорией вероятностей под влиянием вопросов, поставленных перед ним одним из придворных французского двора шевалье де Мере (1607-1648). Блестящий кавалер, умный и развитый человек, де Мере увлекался философией, искусством и ... был азартным игроком! Но игра, оказывается, тоже была для него поводом для довольно глубоких размышлений. Де Мере предложит Б.Паскалю два знаменитых вопроса, первый из которых он попытался решить сам.

Вопросы были такие :
1. Сколько раз надо бросать две игральные кости, чтобы случаев выпадения сразу двух шестерок было больше половины от общего числа бросаний?
2. Как справедливо разделить поставленные на кон двумя игроками деньги, если они по каким-то причинам прекратили игру преждевременно?

Эти задачи обсуждались в переписке двух великих ученых Б.Паскаля и П.Ферма (1601-1665) и послужили поводом для первоначального введения такого важного понятия, как математическое ожидание, и попыток формулирования основных теорем сложения и произведения вероятностей.

Настоящую научную основу теории вероятностей заложил великий математик Якоб Бернулли (1654-1705). Его труд "Ars conjectandi" стал первым основательным трактатом по теории вероятностей. Он содержал общую теорию перестановок и сочетаний. А открытый им знаменитый закон больших чисел дал возможность установить связь между вероятностью какого-либо случайного события и частотой его появления, наблюдаемой непосредственно из опыта.

Дальнейшие успехи теории вероятностей связаны прежде всего с именами ученых А.Муавра (1667-1754), П.Лапласа (1749-1827), К.Гаусса (1777-1855), С.Пуассона (1781-1840) и других.

Что такое вероятность

В повседневной речи мы часто используем слова "вероятность", "случай", "событие". Интуитивно вероятность некоторого события воспринимается как характеристика возможности его появления.

Оказывается, что при многократном повторении опыта частота события принимает значения, близкие к некоторому постоянному числу. Многократно проводились опыты бросания однородной монеты, в которых подсчитывали число появления "герба", и каждый раз, когда число опытов было достаточно велико, частота выпадения герба незначительно отличалась от 0.5. Например, в нижеследующей таблице приведены результаты, полученные в XVIII веке французским естествоиспытателем Бюффоном (1707-1788) и в начале XX века английским статистиком К.Пирсоном (1857-1936).

ЭкперементаторОпытыВыпало гербовЧастота
   Бюффон04 04002 0480.5080
   К.Пирсон12 00006 0140.5016
   К.Пирсон24 00012 0120.5006

Описанное в примере явление, а также неоднократные наблюдения и других массовых явлений позволяют сделать вывод, что если опыт повторяется в одинаковых условиях достаточно большое количество раз, то частота появления некоторого события колеблется около некоторой постоянной величины. Так, например, подсчитано что частота рождения мальчиков составляет 0.518, а девочек 0.482.

Эту постоянную величину, к которой приближается частота событий, называют вероятностью этого события.

Математическое ожидание: его смысл и использование

Математическое ожидание (Expected Value, EV) является основным понятием в теории вероятностей, которое служит для усредненной оценки некоторого случайного значения. Математическое ожидание похоже на центр тяжести, если считать вероятности значений массами точек.

Допустим, в результате игры возможны n различных вариантов исходов, вероятность каждого случая равна pi. Тогда математическое ожидание величины x, которая принимает значения xi для каждого случая вычисляется по формуле:

E(x) = x1p1 + x2p2 + ... + xnpn ,

В случае, когда вероятности исходов одинаковы ( p1=p2=...=pn=1/n ) формула принимает вид среднего арифметического :

E(x) = x1/n+ x2/n + ... + xn/n = (x1 + x2 + ... + xn) / n

Почему понятие математического ожидания является самым важным в теории вероятностей? Оказывается, с его помощью можно прогнозировать оценку значения некоторого случайного признака при достаточно долгом периоде испытаний.

Используя приведенную выше аналогию с центром тяжести, можно сказать, что любое физическое тело, находясь в неопределенном состоянии, будет стремиться принять состояние равновесия (опоры на свой центр тяжести), точно также и среднее значение любой случайной величины при достачно большом количестве испытаний будет стремиться к своему матожиданию. Этот факт строго доказывается в курсе теории вероятностей.

Ожидаемый выигрыш и средний результат игры

Для начала рассмотрим следующий простой пример. Разыгрывается лотерея из 1000 билетов, стоимость каждого билета 1$. Призы распределяются следующим образом : 1 билет с выигрышем 500$, 5- с выигрышем по 50$ и 20 с выигрышем по 10$. Заполним следующую таблицу :

Количество Вероятность Выигрыш,$
001 001/1000 500
005 005/1000 050
020
020/1000
010
974
974/1000
000

Итак, на все 1000 билетов выплачивается общая сумма 1*500$ + 5*50$ + 20*10$ = 950$, или в среднем 0.95$ на каждый билет. Этот показатель называется ожидаемый выигрыш (Expected Return, ER). Если из дохода вычесть наши расходы (цена билета), то получим 0.95$-1$=-0.05$ - средний результат (Edge, Profit). В данном случае получилось, что играть в эту лотерею не выгодно : в среднем каждый билет проигрывает 0.05$.

А как же рассчитать ожидаемый выигрыш для других игр? В общем случае ожидаемый выигрыш считается как математическое ожидание выигрыша, а средний результат считается как матожидание результата игры. Действительно, результат из примера можно получить и по этой формуле:

Ожидаемый выигрыш: сумма по всем случаям произведений вероятности на выигрыш
500*1/1000 +50*5/1000 + 10*20/1000 + 0*974/1000 = 0.95

Средний результат: сумма по всем случаям произведений вероятности на результат игры
(500-1)*1/1000 + (50-1)*5/1000 + (10-1)*20/1000 + (0-1)*974/1000 = -0.05

Для удобства часто ожидаемый выигрыш и средний результат вычисляются как процент от ставки или вложенных в игру денег:
Ожидаемый выигрыш = 100% * (0.95$/1$) = 95%
Средний результат = 100% * (-0.05/1$) = -5%

В процентном виде результат и ожидаемый выигрыш связаны формулой:
Средний результат = ожидаемый выигрыш - 100%

Обычно средний результат является основной характеристикой игры, но, например, в видео покере принято использовать ожидаемый выигрыш.

Зная средний результат игры, можно достаточно уверенно спрогнозировать результат для достаточно длительного периода игры. Например, средний результат в рулетку составляет -2.7%, значит после 1000 ставок по 1$ баланс приблизительно составит -0.027*1000$ = -27$. С другой стороны, средний результат позволяет сравнивать между собой различные игры. Очевидно, что выгоднее играть в те игры, результат которых больше. А на играх с положительным результатом можно даже с уверенностью заработать!

Да, это так, но менеджеры в казино очень любят считать деньги. К играм с положительным результатом относится блэк джэк и некоторые вариации видео покера. В первой игре надо уметь считать выходящие карты, а во второй - помнить около 20-30 правил обмена карт плюс исключения из правил. Это очень сложные игры, и если Вы не владеете серьезными навыками, то рассчитывать можете только на удачу. Средний результат предполагает, что игрок неукоснительно следует оптимальной стратегии в игре!


<<назад




 
 

Copyright © 2015